某个空虚寂寞的晚上，随便造点轮子，只是常用的二进制位运算的函数而已。实现不一定是常数最优的，可读性优先。
裸的打表、分块打表、不到 log 级别的表不写，不屑。
Counting Trailing Zeros
__builtin_ctz ，返回从最低位开始的连续的 0 的个数；如果传入 0 则行为未定义。
_BitScanForward ， Visual Studio 中的内建函数，等价于 GCC 的 __builtin_ctz 。
朴素
int ctz64(uint64_t x) {
for (int i = 0; i != 64; ++i)
if (x >> i & 1) return i;
return 0;
}二分
int ctz64(uint64_t x) {
int r = 63;
x &= ~x + 1;
if (x & 0x00000000FFFFFFFF) r -= 32;
if (x & 0x0000FFFF0000FFFF) r -= 16;
if (x & 0x00FF00FF00FF00FF) r -= 8;
if (x & 0x0F0F0F0F0F0F0F0F) r -= 4;
if (x & 0x3333333333333333) r -= 2;
if (x & 0x5555555555555555) r -= 1;
return r;
}浮点数
支持 IEEE-754 binary64 的架构下可以使用，代码中 double 需要保证为 binary64 。不过最低要求其实只需要使用 binary32 就可以达到目标。
不解释，自己复习 IEEE-754 定义的浮点数二进制表示。
int ctz64(uint64_t x) {
union {
double f;
uint64_t i;
} v = {.f = x & ~x + 1};
return (v.i >> 52) - 1023;
}哈希查表
关于代码中出现的魔数请参考 de Bruijn 序列。
int ctz64(uint64_t x) {
static const int bit_perm[64] = {
0, 1, 2, 7, 3, 13, 8, 19, 4, 25, 14, 28, 9, 34, 20, 40,
5, 17, 26, 38, 15, 46, 29, 48, 10, 31, 35, 54, 21, 50, 41, 57,
63, 6, 12, 18, 24, 27, 33, 39, 16, 37, 45, 47, 30, 53, 49, 56,
62, 11, 23, 32, 36, 44, 52, 55, 61, 22, 43, 51, 60, 42, 59, 58,
};
return bit_perm[0x218A392CD3D5DBF * (x & ~x + 1) >> 58];
}Find First Set
__builtin_ffs ，返回最低的非 0 位的下标，下标从 1 还是计数；如果传入 0 则返回 0 。
除 0 以外，满足恒等式 __builtin_ffs(x) == __builtin_ctz(x) + 1 ，懒得罗嗦了。
int ffs64(uint64_t x) {
if (x == 0) return 0;
return ctz64(x) + 1;
}Count Leading Zeros
__builtin_clz ，返回从最高位开始连续的 0 的个数。当传入 0 则行为未定义。
_BitScanReverse ， Visual Studio 中的内建函数，等价于 __builtin_clz 。
朴素
int clz64(uint64_t x) {
for (int i = 0; i != 64; ++i)
if (x >> 63 - i & 1) return i;
}二分
int clz64(uint64_t x) {
int r = 0;
if (!(x & 0xFFFFFFFF00000000)) r += 32, x <<= 32;
if (!(x & 0xFFFF000000000000)) r += 16, x <<= 16;
if (!(x & 0xFF00000000000000)) r += 8, x <<= 8;
if (!(x & 0xF000000000000000)) r += 4, x <<= 4;
if (!(x & 0xC000000000000000)) r += 2, x <<= 2;
if (!(x & 0x8000000000000000)) r += 1, x <<= 1;
return r;
}浮点数
需要 IEEE-754 binary128 才能实现。实际上最小上界是尾数能完全存下 64-bit 的浮点数。 x86 的 extended 恰好差一位，但是如果我们截断尾部一位而手动判断 0 或 1 的情况的话， double 类型还是可以满足需求的。
以下为了方便，还是使用 binary128 ，假设 __float128 即为该类型。
int clz64(uint64_t x) {
union {
__float128 f;
uint64_t i[2];
} v = {.f = x};
return 16446 - (v.i[1] >> 48);
}利用了浮点数的指数部分，和 ctz 浮点数做法本质相同。
哈希查表
关于代码中出现的魔数请参考 de Bruijn 序列。
int clz64(uint64_t x) {
static const int bit_perm[64] = {
63, 62, 61, 56, 60, 50, 55, 44, 59, 38, 49, 35, 54, 29, 43, 23,
58, 46, 37, 25, 48, 17, 34, 15, 53, 32, 28, 9, 42, 13, 22, 6,
0, 57, 51, 45, 39, 36, 30, 24, 47, 26, 18, 16, 33, 10, 14, 7,
1, 52, 40, 31, 27, 19, 11, 8, 2, 41, 20, 12, 3, 21, 4, 5,
};
x |= x >> 32;
x |= x >> 16;
x |= x >> 8;
x |= x >> 4;
x |= x >> 2;
x |= x >> 1;
x ^= x >> 1;
return bit_perm[0x218A392CD3D5DBF * x >> 58];Count Leading Redundant Sign Bits
__builtin_clrsb ，返回最高位开始的连续的和符号位相同的位数。
懒得罗嗦了。
int clrsb64(int64_t x) {
if (!(x ^ x >> 63)) return 63;
return clz64(x ^ x >> 63);
}Population Count
__builtin_popcount ，计算二进制表示中 1 的数量。
比较常用，人们研究的比较多，算法比较多，不少骚优化。
朴素
int popcount64(uint64_t x) {
int r = 0;
do r += x & 1;
while (x >>= 1);
return r;
}一个优化
int popcount64(uint64_t x) {
int r = 0;
for (; x; x &= x - 1) ++r;
return r;
}二分
给出最易懂的代码，以下代码具有较大优化潜能：
int popcount64(uint64_t x) {
x = (x & 0x5555555555555555) + (x >> 1 & 0x5555555555555555);
x = (x & 0x3333333333333333) + (x >> 2 & 0x3333333333333333);
x = (x & 0x0F0F0F0F0F0F0F0F) + (x >> 4 & 0x0F0F0F0F0F0F0F0F);
x = (x & 0x00FF00FF00FF00FF) + (x >> 8 & 0x00FF00FF00FF00FF);
x = (x & 0x0000FFFF0000FFFF) + (x >> 16 & 0x0000FFFF0000FFFF);
x = (x & 0x00000000FFFFFFFF) + (x >> 32 & 0x00000000FFFFFFFF);
return x;
}一个优化是在 x = (x & 0x00ff00ff00ff00ff) + (x >> 8 & 0x00ff00ff00ff00ff) 这一步过后直接 % 255 就是结果。因为 m^x\equiv1\pmod{m-1} ，所以 m 进制的数字 \sum d_km^k\equiv\sum_k d_k\pmod{m-1} 。这里 m 是幂指数以幂次增长的，而 256 是最小的大于 64 的满足条件的 m 。
类似的，在算到第四轮之后完全不需要维护更高位的部分，每次只需要低位部分加上高位部分，最后截取低 8 位即可。该变种仍可继续优化，最后求和的部分可以一个乘法达成：
int popcount64(uint64_t x) {
x -= (x >> 1) & 0x5555555555555555;
x = (x & 0x3333333333333333) + (x >> 2 & 0x3333333333333333);
x = x + (x >> 4) & 0x0F0F0F0F0F0F0F0F;
return x * 0x0101010101010101 >> 56;
}Parity
__builtin_parity ，等价于 __builtin_popcount(x) & 1 。
偷懒
int parity64(uint64_t x) {
return popcount64(x) & 1;
}二分
int parity64(uint64_t x) {
x ^= x >> 1;
x ^= x >> 2;
x ^= x >> 4;
x ^= x >> 8;
x ^= x >> 16;
x ^= x >> 32;
return x & 1;
}一个优化是部分打表，在 x 的值比 16 小了之后直接用表即可。由于 parity 只会返回 01 ，因此可以压位。